IL PROBLEMA… l’età del capitano

Pubblicato: 17 marzo 2011 da alicemate in A SCUOLA DAI MATEMATICI, DIDATTICA, PROBLEMI?
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“LA MATEMATICA NON SERVE A NULLA Provocazioni e risposte per capire di più”

di Giorgio Bolondi e Bruno D’Amore

Riporto due pagine tratte dal capitolo  “DICONO DI NOI ovvero qual è l’immagine pubblica della matematica e dei matematici?”

Per gli insegnanti, ma anche per i genitori è illuminante? https://i2.wp.com/www.calshop.biz/smiles/approva5.gif Io riconosco molto di quello che è scritto, anche quando i testi dei problemi hanno  richieste meno assurde, le soluzioni spesso, sono quelle  illustrate…

… “Dal momento che tu studi geometria e trigonometria, ti voglio sottoporre un problema:

una nave si trova in mare, è partita da Boston carica di indaco, ha un carico di duecento barili, fa vela verso Le Havre, l’albero maestro è rotto, c’è del muschio sul castello di prua, i passeggeri sono in numero di dodici, il vento soffia in direzione NNE, l’orologio segna le tre e un quarto del pomeriggio, si è nel mese di maggio. Si chiede l’età del capitano.https://i2.wp.com/www.calshop.biz/smiles/confuso33.gif

(Gustave Flaubert)

Flaubert, che non amava la matematica, ci fornisce una graffiante caricatura dei problemi scolastici: una serie di dati sconnessi tra di loro che portano a una domanda completamente insensata.

Per gli insegnanti di matematica, l’età del capitano è diventato anche il nome di un celeberrimo esperimento che è stato compiuto all’inizio degli anni ottanta a Grenoble (e ripetuto moltissime volte in tutto il mondo).

Un gruppo di ricercatori pose ai bambini delle scuole elementari “problemi” del tipo seguente:

Su una nave ci sono 26 pecore e 10 capre; quanti anni ha il capitano? –  I bambini in grande quantità, senza esitazioni, risposero: – 36! – . La prova fu ripetuta in diverse condizioni, con altri bambini, cambiando la forma di presentazione della domanda, ma i risultati cambiarono di poco. Cambiando in modo opportuno la situazione e le domande, ci si accorge che queste risposte non hanno a che fare con l’età.-

Che cosa ci mostrano, allora, questi episodi?

La prima osservazione  è che gli studenti, di fronte a un problema di matematica, per prima cosa si mettono a eseguire operazioni con i numeri che trovano nel testo (i dati).

Eseguono le operazioni che sembrano a loro più adatte ai numeri che hanno: 26 e 10 vanno sommati, se i dati fossero stati 26 e 2, probabilmente qualcuno li avrebbe anche moltiplicati, senza guardare se quello che fanno è  ragionevole e spesso senza neppure leggere la consegna.

A  un livello più profondo, l’ età del capitano ci fa riflettere sul senso che i ragazzi attribuiscono ai problemi di matematica.

Spesso, di fronte a difficoltà di matematica, la ricetta degli insegnanti è ri-spiegare una procedura, far eseguire altri esercizi, lavorare sui passaggi che i ragazzi non riescono a superare. Si lavora quindi principalmente sulle difficoltà di sintassi: ci preoccupa un algoritmo che non viene eseguito correttamente, una formula che non viene applicata nel modo giusto, una nozione che non viene utilizzata nel momento dovuto. In realtà, le difficoltà sono per lo più di tipo semantico: il ragazzo sbaglia perchè quello che fa, gli oggetti su cui lavora, le procedure che tenta di applicare non hanno per lui alcun significato. Il problema del senso è la prima causa di insuccesso in matematica.  Molti ragazzi studiano la matematica come se studiassero a memoria discorsi in una lingua che non conoscono. Provate a immaginare di imparare una poesia in giapponese, senza sapere la lingua: per quanto bene la studiate, dopo un po’ inizierete a dimenticarla, a sbagliare alcune parole, a rimescolare i versi. Così succede a molti studenti, che apprendono un po’ di meccanismi, memorizzano qualche formula, ma tutto questo non si inserisce in un quadro complessivamente sensato: e così dopo un po’ tutto diventa sconnesso, viene confuso, mescolato, dimenticato.

A un bambino,  che come tanti altri suoi compagni aveva detto che il capitano della nave aveva 36 anni, fu chiesto come   mai avesse dato quella risposta. Il bambino rispose che aveva pensato che al capitano, per ogni compleanno, veniva regalato un animale. E così ne aveva accumulato 36, e quindi aveva 36 anni… E’ un segnale di speranza: il bisogno di senso nei nostri bambini, non è evidentemente completamente soffocato.” …

Che fare adesso per non fare affondare la nostra “nave”… troviamo  soluzioni per “cercare” almeno corrette soluzioni che ,  a volte non si possono… trovare???

commenti
  1. Umberto Esposito scrive:

    IL PROBLEMA DI FLAUBERT (L’ETA’ DEL CAPITANO)
    Riportiamo di seguito quanto appare nel Tractatus M-Miarbilis (Trattato Elementare di Algebra e di Analisi Diofantea) contenuto nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo a proposito della prima storica risoluzione di un problema ufficialmente … “irrisolvibile”!

    “Gustave Flaubert (1821-1880), il geniale autore di Madame Bovary (1856), avrebbe di sicuro rischiato di diventare anche un genio matematico – lui che di matematica non ne capiva un “fico secco”, tralasciando le sue “fave”) – se solo ci fosse stato – nell’arco verosimilmente di ben 180 anni circa!- qualche matematico in grado di trasformare il suo “insensato” e famoso problema sull’ “età del capitano” in un problema matematicamente “sensato”, al di là di quella che è o può apparire la forma “irridente” verso i matematici e la matematica del suddetto problema.
    Il problema in questione era la “logica” conclusione delle sue lamentele circa certi modi d’insegnare la matematica (anche ai suoi tempi!).
    Flaubert scrive rivolgendosi alla sorella:
    “ I problemi che devo risolvere non hanno né capo e né coda, devo calcolare percorsi di corrieri che corrono da una parte all’altra senza apparente scopo, rincorrere lancette finché si sovrappongano, eseguire disposizioni testamentarie complicate a piacere, senza alcun fine.
    Vuoi un esempio? Dal momento che tu studi della geometria e della trigonometria, ti voglio sottoporre un problema: una nave si trova per mere, è partita da Boston carica d’indaco, ha un carico di duecento barili, fa vela verso Le Havre, l’albero maestro è rotto, c’è del muschio sul castello di prua, i passeggeri sono in numero di dodici, il vento soffia in direzione NNE, l’orologio segna le tre e un quarto del pomeriggio, si è nel mese di maggio …. Si richiede l’età del capitano”

    A prima vista sembra effettivamente che Flaubert, abituato a risolvere problemi senza “né capo e ne coda”, sia diventato, a sua volta, “maestro” nel congegnarne uno di tale specie!
    Ma…, se fosse diversamente? V’immaginate la reazione dei “beoti”, ossia degli “esperti”, sei ricercatori e dell’uomo comune che sappia eseguire almeno le quattro operazioni elementari?
    Insomma si tratta di di un problema “illogico” e quindi davvero “impossibile …. oppure Flaubert, in modo geniale, sotto le mentite spoglie di un traviato mentale in fatto di numeri, si è preso in realtà una rivincita – altrettanto geniale- non solo sui matematici suoi contemporanei, ma anche su quelli successivi?
    Prima della soluzione qui riportata per la prima volta da quando il problema fu posto da Flaubert si era certi (chi non avrebbe messo la mano sul fuoco?) che tale problema altro non era se non un vero e proprio “nonsense” matematico.
    Insomma un assurdo logico-algoritmico!
    Il che, al di là del nostro Secondo Principio Generale della Conoscenza, è del tutto lecito e vero.
    Ma cosa succede se, svincolando i “dati” dal “problema” riuscissimo a fornire una soluzione “logica” in grado di fornire “matematicamente” l’ “impossibile” età del capitano di Flaubert?
    E’ possibile un fatto del genere?
    Sorprendentemente, la risposta è affermativa!
    Per quanto sorprendente e incredibile possa apparire agli occhi dei matematici che sanno “leggere di greco e di latino”, ossia addottorati e in grado altresì di capire e di discutere (si spera!) anche di teorie più o meno astruse, quali la Teoria delle Frazioni Continue, quella dei Gruppi (delle trecce, dei lacci, del campo finito,…), quella delle Congruenze, dei Fasci, dei Modelli, dei fibrati, delle Categorie, della Rappresentazione, di Virasoro, degli “Spazi di Hilbert”…, ed altre ancora, che ai più sembrano altrettanto insulse e inutili quanto la logica che sottende lo stesso problema di Flaubert; ma che tale non è in ambedue i casi, quello dei matematici e di Flaubert, come proveremo di seguito.
    Sta di fatto che proprio la “mancanza di logica” coniugata con la “mancanza di un algoritmo” che non hanno consentito fino ad oggi di risolvere il problema di Flaubert costituiscono le “premesse” indispensabili per poter risolvere effettivamente tale problema.
    Astraendoci dal contesto del problema, consideriamo i seguenti dati “numerici” esplicitamente forniti da Flaubert: 200 ( numero dei barili), 12 ( numero dei passeggeri); 15,15 (ore e minuti, tre e un quarto pomeridiane segnate dall’orologio) e i dati impliciti , “non forniti” numericamente da Flaubert, ossia 13 (numero dei passeggeri+ capitano) e il numero 5 (corrispondente al quinto mese mese (maggio) dell’anno).
    Con tali dati siamo noi in grado di determinare l’età del capitano?
    La risposta è si.
    Con facili calcoli, applicando il nostro Secondo Principio Generale della Conoscenza, si perviene facilmente alla “storica” prima risoluzione del problema, la cui soluzione è 48 anni e 29 mesi (età del capitano)!
    Incredibile! Matematicamente possibile e vero!
    Possiamo dunque concludere, parafrasando il gesuita Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-17339, inconsapevole scopritore delle geometrie non euclidee, con il suo “Euclides ab omni naevo vindicatus”, con un altrettanto nostro “Flaubert ab omni naevo vindicatus” ?
    Speriamo di si, finalmente – senza se e senza m che tengano- con grande pace e soddisfazione di tutti, anche quindi degli esperti e …dei meno esperti, ai quali lasciamo immantinente il “piacere” di cimentarsi a ri-trovare la nostra soluzione del problema di Flaubert.
    Ovviamente se qualcuno c’è rimasto male o di stucco per il fatto che i calcoli che conducono alla soluzione trovata sono rimasti sepolti nel Codex Cervinarensis non ci possiamo fare niente, ma proprio…niente.”
    COMMENTO di U. Esposito – Che dire? Una bella sfida!
    News a cura di U. Esposito tratte dal Codex Cervinarensis per gentile concessione dell’Autore.

    • alicemate scrive:

      Grazie! interessante, insomma ognuno cerca soluzioni con i mezzi che ha, con le motivazioni che ritiene importanti, secondo il suo modo di operare… il DUBBIO la nostra certezza? sono in dubbio😉

  2. Umberto Esposito scrive:

    IL SECONDO PRINCIPIO GENERALE DELLA CONOSCENZA DI GALLO (Approfondimenti)
    Riporto di seguito un problema di ripartizione risolto dal matematico cervinarese Onofrio Gallo
    nelsuo Codex Cervinarensis (Sezione Problemi) in due modi diversi, uno dei quali fa intervenire – chiarendolo- il suddetto secondo principio generale della conoscenza, non senza aver segnalato che è possibile un relativo approfondimento generale anche ” via zero”, come è possibile verificare in una recentissima l’ “ultima”) pubblicazione di A. D. Aczel (1950-2015) dal titolo ” Caccia allo zero” (R. Cortina, ed. , 2016), un principio generale che è anche alla base della primissima dimostrazione ad opera del matematico cervinarese dell’Ultimo Teorema di Fermat (UTF , di tipo
    ” diretta e originale”, in assoluto la prima a livelllo mondiale ( 27 dic 1993, Roma e depositata a Gottingen nell’ottobre 1994, caso particolare (a=b=c interi positivi, r=s=,t>2, interi positivi )) del suo Teorema Mirabilis relativo alle equazioni diofantee ax^r+by^s=cz^t, in quanto la megadimostarzione”(“indiretta e solo in parte originale”) dell’UTF da parte del duo dei matematici inglesi Wiles- Taylor (risalente all’ottobre 1994, ma convalidata uffiicalmente solo nel 1998!)- che, però,alla luce della “verifica” effettuata dal matematico cervinarese con le sue formule diofantee, risulta “neanche sbagliata, ma nulla”!
    Ed ecco il problema.
    PROBLEMA DI RIPARTIZIONE DI ANDREA
    Un’azienda ha alle sue dipendenze sei dipendenti di cui 3 diurni e 3 notturni.
    Il budget complessivo da ripartire fra i 6 dipendenti è di 900 €.
    Si vuole che un dipendente x (diurno) guadagni il doppio di un dipendente y notturno; o, inversamente, che y guadagni la metà di x.
    Come ripartire il budget in modo da soddisfare le condizioni di guadagno?

    Risolveremo il problema in due modi diversi
    Nel primo caso mediante la risoluzione algebrica (in questo caso ci avvaliamo di equazioni algebriche lineari o di primo grado in una sola incognita e del II Principio Generale della Conoscenza di Gallo), nel secondo caso mediante la risoluzione diofantea in questo caso ci avvaliamo di una della 4 famiglie di formule diofantee di Gallo valide per le equazioni diofantee lineari in due incognite del tipo ax+by= c).

    I MODO
    SOLUZIONE ALGEBRICA
    L’equazione algebrica generale che risolve il problema è la seguente:

    (E) 3x+ 3(1/2)x =900
    Metodo tradizionale.
    Il valore esatto di x è x=200 (infatti , dividendo membro a membro per 3, otteniamo subito x+x/2=300 da cui 2x+x= 600 ossia 3x=600 e quindi x=600/3=200, per cui x/2 =100).
    Verifica della (E) per x=200: si ha 3*200* 3*100=900 ossia 600 +300=900, cioè 900=900.
    Metodo non tradizionale
    Supponiamo ora di non voler risolvere la (E) secondo il metodo tradizionale precedente e supponiamo di partire dal valore-soluzione (errata della (E)) di x=1800/12= 150 (per cui x/2=y= 75): è chiaro che tale soluzione non è la soluzione esatta della (E), ma dell’equazione parziale
    (EP/1) 3×1+ 3(1/2)x1 = 675 con x1=175 y1=x1/2=75
    Com’è possibile ora , in base al II Principio Generale della Conoscenza di Gallo, determinare la “vera” soluzione” di (E), introducendo un “secondo” valore errato rispetto alla (E)?
    Basta considerare la seconda equazione parziale “residua” di termine noto 225 ( in quanto 900-675=225)
    (EP/2) 3×2+ 3(1/2)x2 = 225
    La cui soluzione esatta è x2=50, per cui y2=x2/2= 25
    Ne segue che essendo x1 ed x2 due soluzioni non esatte della (E), per ottenere il valore-soluzione esatta della (E), occorre che risulti verificato il II Principio Generale della Conoscenza di Gallo che si può sintetizzare nella forma x1*x2=x
    Dove * è un opportuno algoritmo, che, a partire dai valori errati x1 ed x2 (rispetto alla (E)), ci deve fornire il valore esatto x.
    In questo caso si ha che tale “algoritmo” * incognito è espresso dall’operazione di “addizione”. Per cui risulta che x = x1+ x2= 150 +50 =200.
    E questa è la soluzione esatta della (E), ossia dell’equazione algebrica generale che risolve il problema.
    Per cui ad ogni dipendente diurno x occorre corrispondere x=200 € e a ciascun dipendente notturno y occorre corrispondere 100 € ( in quanto risulta y=y1+y2= 75+25=100 = x/2).
    OSSERVAZIONE I
    Se, dunque, per un motivo qualsiasi, con il metodo tradizionale avessimo calcolato la soluzione “errata” x=150 della (E), poiché tale soluzione della (E) non verifica (da sola) la stessa equazione (E) che l’ha generata…in quanto risulta essere la soluzione esatta x1 della (EP/1), ad un certo punto il problema sembra essere irrisolvibile mediante la sola equazione (EP/1).
    Poiché però, tramite la (E) è possibile “ costruire” (partendo dai termini noti 900 (della (E) e 675 della (EP/1)) una “seconda” equazione(espressa dalla (EP/2 con termine noto 900-675=225) che fornisce la seconda soluzione errata x2 della (E), siamo in grado di ottenere due soluzioni x1 ed x2 non esatte della (E), le quali, grazie al II Principio Generale della Conoscenza di Gallo, espresso in generale nella forma “Errore x1” * “Errore x2” = valore esatto x , il problema diventa come per magia “risolubile” anche partendo da una soluzione errata della (E)!
    II MODO

    SOLUZIONE DIOFANTEA
    L’equazione diofantea lineare che risolve il problema è la seguente (ED) 3x+3y=900

    Premessa teorica
    Applicheremo in questo caso, a partire dalla generica equazione diofantea lineare (D) ax+by=c in due incognite x ed y ( con la ovvia condizione che sia y=x/2), una della quattro famiglie di formule di Gallo; in questo caso la (FG.1):
    x= ((c-b) –bt)/ (a-b) ( I^ componente)
    y= ((a-c) +at)/(a-b) , essendo t =(parametro di Gallo) = x+y-1,
    Ma poiché nel nostro problema risulta a=b =3 si avrebbe a-b =0 al denominatore, ed allora si applica alla (ED) scritta come (ED’) 3x -3 (-y)=900 ( sfruttando il fatto che -3(-y) =+3y )
    La (FG.1) ci fornisce le due “nuove”componenti
    x= ((c+b) +bt)/ (a+b) ( I^ componente) e
    -y=((a-c) +at)/(a+b) , ossia
    y=((c-a) -at)/(a+b) ( II^ componente), ovviamente con t=x+ (-y)-1=x-y-1
    Applicando queste formule otteniamo subito
    x= (900 +3+3t)/6 e –y= (3-900+3t)/6 ossia, in definitiva:
    x= (903+3t)/6 ed y= (897-3t)/6 con t=x-y-1.
    Si vede subito che, per ottenere soluzioni intere positive, occorre calcolare i “limiti” di variazione del parametro t.
    Per x=1 risulta subito t=151, mentre per y=1 si ha t=297 per cui t (INTERO POSITIVO DISPARI) varia tra il limite minimo 151 e il limite massimo 297.
    Quale sarà il valore di t che risolve il nostro problema?
    Allo scopo basta imporre la condizione del problema secondo cui deve essere x=2y , ossia
    (x=) (903+3t)/6 = 2(897-3t)/6 (=2y) da cui si ottiene subito 903+3t= 2(897-3t) ossia 903+3t=1794-6t e quindi 9t=891 cioè t=99
    Andiamo ora a sostituire il valore t= 99 nella componente x= (897-3t)/6 e troviamo subito x= 200; mentre sostituendo lo stesso valore di t nella componente y= (897-3t)/6 otteniamo y=100.
    Tale soluzione coincide esattamente con la soluzione trovata col metodo algebrico.
    OSSERVAZIONE II – SULL’ARMONIA UNIVERSALE
    Una considerazione “filosofica” finale sul valore intrinseco del II Principio Generale della Conoscenza di Gallo non può perciò prescindere dal fatto che tale Principio si applica a strutture “complementari” ( in questo caso le equazioni (EP/1) ed (EP/2) ) od “opposte”: basta supporre che l’equazione generale (E) rappresenti il colore “GRIGIO” , in tal caso le (EP/1) ed (EP/2) rappresenteranno, rispettivamente, il BIANCO e il NERO ( o viceversa), che sono colori complementari od opposti.
    Dunque, se, nel nostro Universo U, troviamo due leggi opposte” L1 ed L2, relative a due suoi fenomeni “ della stessa struttura o classe ( nel campo dell’elettricità, della Fisica delle particelle, ecc), è possibile, se siamo in grado di collegare tra loro le L1 ed L2 mediante un opportuno “algoritmo”, ottenere una legge generale L=L1*L2 che riguarda l’intero universo U.
    E’ proprio quanto afferma il II Principio Generale della Conoscenza di Gallo.
    Ecco il motivo per il quale tale Principio, esteso alla sfera dell’Universo, della Metafisica e della Ragione umana, ossia trasformato in un unico PRINCIPIO ARMONICO UNIVERSALE di GALLO ( mai scoperto né dai teologi, né dai filosofi, né dagli scienziati) è in grado di mettere in relazione tra di loro mondi fino ad oggi ritenuti dai teologi, dai filosofi e dagli scienziati del tutto opposti o complementari, come le leggi della Fisica ( Struttura dell’Universo noto), quelle della Metafisica (l’Essenza dell’Universo: come si è prodotto, chi l’ha prodotto, ecc.) e quelle della Ragione umana, una “triade” di opposti che ancora oggi (e siamo nel 2016!) viene ritenuta una triade che dà luogo a dualismi “inconciliabili” tra di loro (Universo-Metafisica oppure Universo- Ragione umana oppure Metafisica- Ragione Umana) !
    Dunque solo in possesso del PRINCIPIO ARMONICO UNIVERSALE di GALLO si riesce a scoprire che le leggi più intime che legano tra loro la Metafisica, la Natura e la Ragione umana, conducono l’Uomo stesso – superando qualsiasi genere di dualismi- ad una chiara visione dell’ARMONIA UNIVERSALE.
    Commento di U. Esposito – Dunque anche i dubbi possono…condurre a certezze!
    News a cura di U. Esposito tratte dela Codex Cervinarensis per gentile concessione del’Autore

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